一、非全日制用工公司没签合同自己提出离职后是否可以赔偿？

不可以，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。

《劳动合同法》

第六十九条

【非全日制用工的劳动合同】非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。

从事非全日制用工的劳动者可以与一个或者一个以上用人单位订立劳动合同；但是，后订立的劳动合同不得影响先订立的劳动合同的履行。

二、全日制用工公司没签合同可以单方离职吗？

可以，在劳动关系中用人单位有下列情形之一的，劳动者可以解除劳动合同：

（一）未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的；

（二）未及时足额支付劳动报酬的；

（三）未依法为劳动者缴纳社会保险费的；

（四）用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的；

（五）因公司致使劳动合同无效的；

（六）法律、行政法规规定劳动者可以解除劳动合同的其他情形。

（七）用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动的，或者用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全的，劳动者可以立即解除劳动合同，不需事先告知用人单位。

三、全日制用工公司没签合同离职后赔偿争议可以申请仲裁吗？

可以，劳动仲裁的受案范围包括：

（一）因确认劳动关系发生的争议；

（二）因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议；

（三）因除名、辞退和辞职、离职发生的争议；

（四）因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议；

（五）因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议；

（六）法律、法规规定的其他劳动争议。

全日制用工关系公司没签合同自己提出离职后可以索要赔偿，而且，公司在一个月之内没有和员工签劳动合同的，员工可以自离，不需要提前通知公司。但全日制用工和非全日制用工的法律性质有区别，非全民工类似于小时工，工作关系是不稳定的。

《中华人民共和国劳动合同法》（2012修正）：第五章　特别规定 第三节　非全日制用工　　第六十九条　【非全日制用工的劳动合同】非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。\n从事非全日制用工的劳动者可以与一个或者一个以上用人单位订立劳动合同；但是，后订立的劳动合同不得影响先订立的劳动合同的履行。