原被告双方都上诉的处理方式如下：

1、原判决、裁定认搜索定事实清楚，适用法律正确的，以判决、裁定方式驳回上诉，维持原判决、裁定；

2、原判决、裁定认定事实错误或者适用法律错误的，以判决、裁定方式依法改判、撤销或者变更；

3、原判决认定基本事实不清的，裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审，或者查清事实后改判；

4、原判决遗漏当事人或者违法缺席判决等严重违反法定程序的，裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审。

一、上诉流程具体如下：

1、上诉应当递交上诉状。上诉状的内容，应当包括当事人的姓名，法人的名称及其法定代表人的姓名或者其他组织的名称及其主要负责人的姓名；原审人民法院名称、案件的编号和案由；上诉的请求和理由。上诉状应当通过原审人民法院提出，并按照对方当事人或者代表人的人数提出副本；

2、原审人民法院收到上诉状，应当在五日内将上诉状副本送达对方当事人，对方当事人在收到之日起十五日内提出答辩状；

3、第二审人民法院应当对上诉请求的有关事实和适用法律进行审查。

二、上诉时应提交的材料具体如下：

1、上诉状一份，另根据具体情况提交相应份数副本；

2、证明上诉人主体资格的材料；

3、生效法律文书副本，即判决书、裁定书或其他法律所赋予的文书副印件一份。

总之，法官会将双方的上诉请求进行综合审理，原判决、裁定认搜索定事实清楚，适用法律正确的，以判决、裁定方式驳回上诉，维持原判决、裁定；原判决遗漏当事人或者违法缺席判决等严重违反法定程序的，裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审。上诉应当递交上诉状。上诉状的内容，应当包括当事人的姓名，法人的名称及其法定代表人的姓名或者其他组织的名称及其主要负责人的姓名；原审人民法院名称、案件的编号和案由；上诉的请求和理由。上诉状应当通过原审人民法院提出，并按照对方当事人或者代表人的人数提出副本。原审人民法院收到上诉状，应当在五日内将上诉状副本送达对方当事人，对方当事人在收到之日起十五日内提出答辩状。

本案原被告双方争议的焦点

是原告排放垃圾的行为是否构成乱倒垃圾，而认定是否构成乱倒垃圾又取决于第三人凌河区环卫处签发的垃圾排放证是否合法有效。这是正确处理本案的关键所在。根据国务院《城市市容和环境卫生管理条例》关于城市人民政府市容环境卫生行政主管部门含区一级环卫部门的规定精神，以及锦州市人民政府将市环境卫生管理权限下放到区一级环卫管理部门、市环卫管理部门的主要任务是对环境卫生工作实行宏观管理的决定，凌河区环卫处给原告签发的垃圾排放证是合法有效的。原告按排放证指定地点排放垃圾，并非乱倒垃圾。被告提供不出有力证据证明原告乱倒垃圾行为成立，它对原告处以一万元罚款的具体行为缺乏事实依据，一审判决予以撤销是正确的，但引用行政诉讼法第五十四条第（二）项第二目（适用法律、法规错误）不当，应引用第一目（主要证据不足）。二审判决予以纠正，是正确的。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百六十五条基层人民法院和它派出的法庭审理事实清楚、权利义务关系明确、争议不大的简单金钱给付民事案件，标的额为各省、自治区、直辖市上年度就业人员年平均工资百分之五十以下的，适用小额诉讼的程序审理，实行一审终审。

基层人民法院和它派出的法庭审理前款规定的民事案件，标的额超过各省、自治区、直辖市上年度就业人员年平均工资百分之五十但在二倍以下的，当事人双方也可以约定适用小额诉讼的程序。