公司和员工签劳务合同合法，具体如下：

1、作为用人单位，法律允许其与劳动者建立劳动关系或劳务关系；

2、二者建立了劳动关系，劳动关系是指劳动者与用人单位依法签订劳动合同而在劳动者与用人单位之间产生的法律关系；

3、劳动关系自用工之日起建立，而建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。

公司不与员工签订劳动合同，员工可以要求以下赔偿：

1、要求用人单位支付经济补偿和未签订劳动合同的双倍工资；

2、可以通过法律程序主张公司为自己补缴劳动关系存续期间的社会保险费；

3、通过法律程序主张公司为自己补缴劳动关系存续期间的社会保险费。

公司想辞退孕期员工是否合法

1、公司想辞退孕期员工是不合法的，《中华人民共和国妇女权益保障法》第二十六条规定：任何单位不得以结婚、怀孕、产假、哺乳等为由，辞退女职工或者单方解除劳动合同。

2、《女职工劳动保护规定》第四条规定：不得在女职工怀孕期、产期、哺乳期降低其基本工资，或者解除劳动合同。

3、劳动者在医疗期、孕期、产期和哺乳期内，劳动合同期限届满时，用人单位不得终止劳动合同。劳动合同的期限应自动延续至医疗期、孕期、产期和哺乳期期满为止。

4、劳动者有女工在孕期、产期、哺乳期内的。用人单位不得解除劳动合同。

《中华人民共和国劳动法》第十七条订立和变更劳动合同，应当遵循平等自愿、协商一致的原则，不得违反法律、行政法规的规定。劳动合同依法订立即具有法律约束力，当事人必须履行劳动合同规定的义务。

《中华人民共和国劳动法》第十六条劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。建立劳动关系应当订立劳动合同。

《中华人民共和国劳动法》第二十条劳动合同的期限分为有固定期限、无固定期限和以完成一定的工作为期限。劳动者在同一用人单位连续工作满十年以上，当事人双方同意续延劳动合同的，如果劳动者提出订立无固定期限的劳动合同，应当订立无固定期限的劳动合同。

《中华人民共和国劳动法》第十九条劳动合同应当以书面形式订立，并具备以下条款：

（一）劳动合同期限；

（二）工作内容；

（三）劳动保护和劳动条件；

（四）劳动报酬；

（五）劳动纪律；

（六）劳动合同终止的条件；

（七）违反劳动合同的责任。

劳动合同除前款规定的必备条款外，当事人可以协商约定其他内容。