一、夫妻一方遗弃孩子另一方常年家暴，能不能请求离婚损害赔偿

双方都不可以请求离婚损害赔偿。根据民法典规定，有以下情形之一导致离婚的，无过错方有权请求离婚损害赔偿：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）虐待、遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。夫妻一方遗弃孩子，另一方家暴，双方都有过错，没有一方是无过错方，而法律规定只有无过错方有权提起离婚损害赔偿，所以双方都不能不能提起离婚损害赔偿。

《民法典》第一千零九十一条

有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）虐待、遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。

二、遭受家暴的能不能申请离婚，离婚能不能以遭受家暴为理由

遭受家暴的可以申请离婚。法院判决离婚的依据是夫妻感情破裂，以下情形可以认定为双方感情已经破裂：

（一）重婚或者与他人同居；

（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；

（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；

（四）因感情不和分居满二年；

（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。

因此因为一方实施家庭暴力的，另一方可以起诉离婚，法院会判决离婚的。同时遭受家暴方还可以请求离婚损害赔偿。

《民法典》第一千零七十九条

夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。

人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。

有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：

（一）重婚或者与他人同居；

（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；

（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；

（四）因感情不和分居满二年；

（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。

一方被宣告失踪，另一方提起离婚诉讼的，应当准予离婚。

经人民法院判决不准离婚后，双方又分居满一年，一方再次提起离婚诉讼的，应当准予离婚。

三、遭受家暴的可以申请离婚，离婚能不能以遭受家暴为理由

遭受家暴的可以申请离婚。

法院判决离婚的依据是夫妻感情破裂，以下情形可以认定为双方感情已经破裂：

（一）重婚或者与他人同居；

（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；

（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；

（四）因感情不和分居满二年；

（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。

因此因为一方实施家庭暴力的，另一方可以起诉离婚，法院会判决离婚的。同时遭受家暴方还可以请求离婚损害赔偿。

《民法典》第一千零七十九条

夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。

人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。

有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：

（一）重婚或者与他人同居；

（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；

（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；

（四）因感情不和分居满二年；

（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。

一方被宣告失踪，另一方提起离婚诉讼的，应当准予离婚。

经人民法院判决不准离婚后，双方又分居满一年，一方再次提起离婚诉讼的，应当准予离婚。

《中华人民共和国民法典》：第四章　离婚　　第一千零九十一条　有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：\n（一）重婚；\n　　（二）与他人同居；\n　　（三）实施家庭暴力；\n（四）虐待、遗弃家庭成员；\n（五）有其他重大过错。