首先，公交车急刹车免费搭乘的大爷摔伤医药费，应该由公交公司来赔偿。《民法典》的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任。不论是买票乘客还是免票、持优待票或者经承运人许可达成的无票旅客。

有两种情况公交公司可以免除赔偿责任：

1、伤亡是旅客自身健康原因造成的；

2、承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的。

因此，大爷是公交急刹车摔伤的，公交公司不存在免责情形，理应赔偿。

乘公交车安全

（1）不要将身体的任何部位伸出站台

在站台等公交车时不要将头和手等身体任何部位伸出站台，防止公交车经过时被车碰伤。在车站等车时，看见汽车即将进站千万不要随人流拥挤，以免被挤倒。

（2）不在车内吃东西

乘公交车时不要在车内吃东西，一是为了保持车内环境卫生，以免给他人造成不便。二是因为吃东西咀嚼的时候，一旦急刹车容易咬伤舌头或者摔倒，造成不必要的伤害。

（3）按秩序上下车

乘车时一定要排队上车，等汽车停稳后，先下后上。如果没有标示指示上下车方向，一般是前门上、后门下。人多时，不着急、不拥挤、不加塞，以免发生危险，可考虑等侯下一趟班车。

（4）不乘坐超载车辆

超载车辆内人员拥挤，容易被挤伤，同时由于超载，车辆灵敏度下降，容易发生交通事故，要避免乘坐超载车辆。

（5）抓住车内立柱、扶手，保持身体平衡

在没有座位时不要站在车门边，而要在车内抓紧车上的扶手，保持平衡，防止因紧急刹车、拥挤而摔倒。如果站在车门边而自己又没有抓牢扶手，一旦车门突然打开可能会被甩到车外，造成不必要的人身伤害。

（6）乘坐长途汽车需系好安全带

长途汽车一般行驶速度较快，应系好安全带。一旦发生意外，安全带会保护驾乘人员的安全，降低伤害程度。如果不系安全带，急刹车时，身体会飞出去砸在前座上，造成人员伤亡。

（7）不在车前、车尾逗留

公交车的车前车尾是驾驶员的视野盲区，驾驶员在开车或者倒车时看不到这些位置。在车前、车尾逗留容易发生被车辆撞伤等意外。下车之后要迅速离开公交车而不要在公交车前后逗留。

（8）不在车站追逐玩耍

候车时一定要在候车区域内等候，不要在车站内追逐玩耍。否则，公交车辆不能正常靠站停车，也容易发生撞人事故。

（9）公交车进站时不前拥

公交车进站时不要向前拥挤，一方面防止车轮轧到自己的脚。另一方面，万一被挤到车轮下，后果不堪设想。一旦被挤倒，还容易被踩踏。

《民法典》第八百二十三条，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。

前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。