一、监察机关移送起诉的案件哪些情形检察院可自行补充侦查

1、对于监察机关移送起诉的案件，具有下列情形之一的，人民检察院可以自行补充侦查：

(1)证人证言、犯罪嫌疑人供述和辩解、被害人陈述的内容主要情节一致，个别情节不一致的;

(2)物证、书证等证据材料需要补充鉴定的;

(3)其他由人民检察院查证更为便利、更有效率、更有利于查清案件事实的情形。

2、法律依据：《人民检察院刑事诉讼规则》第三百四十四条

二、刑事案件补充侦查有哪些规定

(一)审查起诉阶段的补充侦查

1、补充侦查的形式。人民检察院审查起诉的案件，对于需要补充侦查的，可以退回公安机关补充侦查;也可以自行侦查，必要时可以要求公安机关提供协助。

2、补充侦查的期限和次数。对于补充侦查的案件，应当在1个月以内补充侦查完毕，补充侦查以两次为限。这既指退回公安机关补充侦查的案件，也包括人民检察院自侦案件中决定退回补充侦查的案件。

3、经过一次退回补充侦查的案件，人民检察院仍然认为证据不足，不符合起诉条件的，可以作出不起诉决定。如果案件经过两次退回补充侦查，仍然证据不足，不符合起诉条件的，人民检察院应当作出不起诉决定。

(二)法庭审理阶段的补充侦查

1、在法庭审判过程中，检察人员发现提起公诉的案件需要补充侦查，提出延期审理建议的，合议庭应当同意。人民检察院应当自行侦查，必要时可以要求公安机关提供协助。对公诉人在庭审过程中发现案件需要补充侦查而提出延期审理建议的，合议庭应当同意。但一该建议以两次为限。

2、合议庭在案件审理过程中，发现被告人可能有自首、立功等法定量刑情节，而起诉和移送的证据材料没有这方面的证据材料，应当建议人民检察院补充侦查。人民检察院应当审查有关理由，并作出是否退回补充侦查的决定。人民检察院不同意的，可以要求人民法院就起诉指控的犯罪事实依法作出裁判。

依据《人民检察院刑事诉讼规则》的规定，对于监察机关移送起诉的案件，具有：证人证言、犯罪嫌疑人供述和辩解、被害人陈述的内容主要情节一致等情形，检察院可以自行补充侦查。