放弃抚养权是将抚养，监护孩子的权利给另一方，自己还是要支付抚养费父母对子女的抚养和教育是父母的权利和义务。根据《中华人民共和国民法典》规定，父母离婚后，对子女仍有相同的抚养责任，仍有负担子女抚养费的平等义务，离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议，协议不成时，由人民法院判决，因此，在处理子女抚养费问题时，以离婚夫妻双方的自愿协商为首选，只有在协商不成的情况下，才由人民法院根据实际情况判决。

一、离婚后父亲不给抚养费可以改姓吗

无论孩子和谁姓，父母任何一方都要承担抚养未成年子女的义务，不能以离婚后孩子改姓就不给孩子抚养费。如果孩子由父姓改为母姓，而父亲不给抚养费的，作为孩子的母亲可以先和孩子父亲商量，协商不成，可以去法院起诉孩子父亲支付孩子抚养费。

《民法典》第一千零八十四条【离婚后的父母子女关系】父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。

《民法典》第一千零八十五条【离婚后子女抚养费的负担】离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。

二、一方独自抚养孩子能否向对方追要之前那没付的抚养费

一方独自抚养孩子，可以向对方追要之前那没付的抚养费。离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议，协议不成时，由人民法院判决。子女抚养费的数额，可根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平确定。