首先，当发生交通事故当事人肇事逃逸的时候，公共机关交通管理部门，会对该交通事故进行立案侦查，对交通事故的发生现场进行现场侦查，然后对事发的时候，案件当中相关人员的证言进行取证，及时的开展对肇事逃逸行为人的追捕行动。在对肇事逃逸行为人的追捕过程当中，可以采取向社会发布公告等方式，或者是举报肇事车辆信息等方式，协助案件的顺利进展。公安机关交通管理部门，在收到协助调查的指令之后，也会开展对肇事车辆的堵截行动，一旦发生可疑的车辆，会立即扣留调查。公安机关交通管理部门在对肇事的车辆进行查获之后，会把之前进行关于追查肇事逃逸车辆通报的事项进行撤销。

在跟公安机关交通管理部门，对于肇事逃逸案件进行调查的时候，如果是案件的受害人或者是属于受害人的家属那边，想要询问关于案件的进展情况，相关部门应该如实的对当事人以及家属陈述案件的实际进展情况。

行为人因为肇事逃逸，构成犯罪的情况，对于行为人应该处以刑事上的处罚，有期徒刑为三年到七年的时间。如果因为肇事逃逸的行为人，造成案件当中的当事人发生死亡的时候，这个时候对肇事逃逸的行为人，要处以的有期徒刑刑期为七年的时间，也就是处罚更加严重了。如果发生肇事逃逸的行为人，对交通案件没有构成犯罪的时候，这个时候对于行为人的处罚，应该是进行两百元到两千元的罚款处罚，也就是行政方面的处罚。公安机关交通管理部门这边，还要对行为人的驾驶证件进行吊销处理。并且行为人以后都不能够再次取得驾驶证件，关于行为人的终身不再取得驾驶证件，会在国家的公安系统当中，进行备案处理。需要注意的一点是，不管行为人在交通事故案件当中，造成的事故严重是大还是小，发生肇事逃逸，一定会吊销行为人的驾驶证件，而且行为人终身不能够再去取得驾驶证件。

发生交通事故，并且肇事行为人还发生了肇事逃逸，案件当中的肇事行为人是应该负全部的事故责任的，如果行为人有证据可以证明另外的当事人，也具有一定的事故责任，这个时候对于肇事行为人的责任，可以进行减轻处理。