一、肇事逃逸者的保险公司是否应承担赔偿责任

肇事逃逸者的保险公司也要承担赔偿责任。根据相关法律规定，机动车驾驶人肇事逃逸的，应当由保险公司在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿。如果机动车未参保交强险的，保险公司垫付后，有权向致害人追偿。

二、交通肇事逃逸后如何索赔

肇事逃逸后受害人可以通过以下方式索赔：

1．受害者需要携带交管部门出具的责任认定书，医院出具的相关费用证明材料向肇事者追偿。发生交通事故后肇事者逃逸的，受害人人身损害相关费用可以由救助基金先行垫付，救助基金管理机构有权向道路交通事故责任人追偿；

2．发生交通事故后，肇事者逃逸的，一般承担全部的责任。受害人立即报警，交通部门出具责任认定书后，和肇事者协商不成，立即到法院起诉，主张肇事者赔偿医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等；

3．交通肇事后，保险公司先行赔付受害者，赔付后不足，受害者可以找事故责任方追偿。具体索赔的数额双方可以自行协商，或者也可以请交警介入调解，或者可以直接起诉至法院，由法院判决赔偿多少。

三、交通肇事逃逸行为应该如何被惩罚

首先要区分是否构成犯罪，如果已经构成交通肇事罪的，肇事逃逸属于交通肇事罪的加重情节。其次，如果交通肇事行为本身并不构成犯罪，这种情况下又逃逸的，则逃逸行为会作为定罪情节以确定是否构成交通肇事罪时。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条

违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

《中华人民共和国刑法》（2020修正）：第二编　分则 第二章　危害公共安全罪　　　　第一百三十三条　违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。