公安机关可以先刑拘的情形有：

正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；

被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；

在身边或者住处发现有犯罪证据的；

犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；

有毁灭、伪造证据或者串供可能的；

不讲真实姓名、住址，身份不明的；

有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。

公安机关可以并案侦查的情形

依据我国相关法律的规定，公安机关可以并案侦查的情形包括一人犯数罪的、共同犯罪的、共同犯罪的犯罪嫌疑人还实施其他犯罪的等。

《公安机关办理刑事案件程序规定》

第十八条几个公安机关都有权管辖的刑事案件，由最初受理的公安机关管辖。必要时，可以由主要犯罪地的公安机关管辖。

具有下列情形之一的，公安机关可以在职责范围内并案侦查：

（一）一人犯数罪的；

（二）共同犯罪的；

（三）共同犯罪的犯罪嫌疑人还实施其他犯罪的；

（四）多个犯罪嫌疑人实施的犯罪存在关联，并案处理有利于查明犯罪事实的。

审查起诉阶段的补充侦查

《刑事诉讼法》第一百七十一条规定：“人民检察院审查案件，对于需要补充侦查的，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。对于补充侦查的案件，应当在1个月以内补充侦查完毕。补充侦查以2次为限。补充侦查完毕移送人民检察院后，人民检察院重新计算审查起诉期限。对于补充侦查的案件，人民检察院仍然认为证据不足，不符合起诉条件的，可以作出不起诉的决定。”

1、补充侦查的情况有两种。即如果是由公安机关侦查终结，人民检察院审查之后，需要补充侦查时，既可以决定将案件退回公安机关补充侦查，也可以决定自行侦查，必要时可以要求公安机关协助。但是，如果是人民检察院自行侦查终结的案件需要补充侦查的，则不能退由公安机关补充侦查。

2、根据《刑事诉讼法》第140条及最高人民检察院《规则》第268条和第269条规定，对于退回公安机关补充侦查的案件，应当在一个月以内补充侦查完毕；人民检察院审查起诉的期限从案件补充侦查完毕移送起诉之日起重新计算。人民检察院审查起诉中决定自行侦查的，应当在审查起诉期限内侦查完毕。

3、补充侦查的次数不得超过2次。这既指退回公安机关补充侦查的案件，也包括人民检察院决定退回侦查部门补充侦查的案件。

4、经过补充侦查的案件，人民检察院仍然认为证据不足，不符合起诉条件的，应当作出不起诉的决定。目的在于维护犯罪嫌疑人的合法权益，防止案件久拖不决，提高诉讼效率。

《刑事诉讼法》第八十条，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：（一）正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；（二）被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；（三）在身边或者住处发现有犯罪证据的；（四）犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；（五）有毁灭、伪造证据或者串供可能的；（六）不讲真实姓名、住址，身份不明的；（七）有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。