失踪人被宣告死亡的其遗产继承的开始时间是以法院判决的死亡日期开始。

依据我国相关法律的规定，继承是从被继承人死亡或者宣告死亡时开始的，失踪人被宣告死亡的，以法院判决中确定的失踪人的死亡日期，为继承开始的时间。

相互有继承关系的数人在同一事件中死亡，难以确定死亡时间的，推定没有其他继承人的人先死亡。都有其他继承人，辈份不同的，推定长辈先死亡；辈份相同的，推定同时死亡，相互不发生继承。

抚恤金、生活补助费是在死者死亡后，由国家发给死者亲属的费用。国家发放这种费用，是用以优抚救济死者家属，特别是用来优抚那些依靠死者生活的未成年人和丧失劳动能力的亲属。就其性质看，它不属于死者的遗产。

它与遗产主要有三点不同：

1、抚恤金、补助费是国家发给死者亲属的费用，而遗产则是死者个人所有的于死之后留下的财产。遗产可以是金钱，也可以是实物，而抚恤金、补助费只能是金钱；

2、发放抚恤金、补助费的目的，在于抚慰死者家属；而遗产继承，则是为了保护公民个人合法的财产权益，使死者生前的合法财产不至于因死亡而消灭；

3、享受抚恤金待遇，必须是死者的直系亲属；而可以得到遗产的人，则除了直系亲属外，还可对其他人或者集体、国家。

因此，一般而言，抚恤金、补助费是不能作为遗产继承的。但也有例外的情况，如果抚恤金、补助费是发给伤残者本人，则属于伤残者本人所有的财产；如伤残者因病死亡，则此项抚恤金、补助费的剩余部分，属于遗产范围。

有下列情形之一的，遗产中的有关部分按照法定继承办理：

1、遗嘱继承人放弃继承或者受遗赠人放弃受遗赠；

2、遗嘱继承人丧失继承权或者受遗赠人丧失受遗赠权；

3、遗嘱继承人、受遗赠人先于遗嘱人死亡或者终止；

4、遗嘱无效部分所涉及的遗产；

5、遗嘱未处分的遗产。

法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百五十条

继承开始后，知道被继承人死亡的继承人应当及时通知其他继承人和遗嘱执行人。继承人中无人知道被继承人死亡或者知道被继承人死亡而不能通知的，由被继承人生前所在单位或者住所地的居民委员会、村民委员会负责通知。

失踪人口宣告死亡的公告期

失踪人口宣告死亡的公告期为一年。因意外事故下落不明，经有关机关证明该公民不可能生存的，宣告死亡的公告期间为三个月。

根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百六十八条，人民法院受理宣告失踪、宣告死亡案件后，应当发出寻找下落不明人的公告，宣告失踪的公告期间为三个月，宣告死亡的公告期间为一年。因意外事故下落不明，经有关机关证明该公民不可能生存的，宣告死亡的公告期间为三个月。公告期间届满，人民法院应当根据被宣告失踪、宣告死亡的事实是否得到确认，作出宣告失踪、宣告死亡的判决或者驳回申请的判决。