离婚后父子关系是不可以断绝的。根据相关法律规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。且离婚后，父母对于子女的抚养、教育、保护的权利和义务并不随之消灭。

一、关于孩子的抚养权法律规定

首先关于，可主要分为以下三大主体：

（一）父母

1、根据《民法典》第一千零五十八条，夫妻双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利，共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务。

2、根据《民法典》第一千零八十四条，离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。

（二）祖父母、外祖父母

根据《民法典》第一千零七十四条，有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年孙子女、外孙子女，有抚养的义务。

（三）兄姐

根据《民法典》第一千零七十五条，有负担能力的兄、姐，对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年弟、妹，有抚养的义务。

三、放弃探视权不给抚养费可以吗

放弃探视不可以不出抚养费。探视权是权利，可以放弃；抚养权是义务，不能放弃。根据《中华人民共和国民法典》规定，父母和子女间的关系不因为父母离婚而消除。离婚后，子女不管是父还是母直接抚养，仍然是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女有抚养、教育、保护的权利和义务。

《民法典》第1086条规定，离婚后，不直接抚养子女的父或者母，有探望子女的权利，另一方有协助的义务。行使探望权利的方式、时间由当事人协议；协议不成的，由人民法院判决。父或者母探望子女，不利于子女身心健康的，由人民法院依法中止探望；中止的事由消失后，应当恢复探望。

具体的“不利于子女身心健康的”，主要是指不直接抚养子女的一方有下列情形：

(一)患有严重精神病或尚未治愈的烈性传染性疾病的；

(二)对子女实施家庭暴力或虐待子女的；

(三)其他不利于子女身心健康的情形。

未成年子女、直接抚养子女的父或母及其他对未成年子女负担抚养、教育义务的法定监护人，有权向人民法院提出中止探望权的请求。