1、检察机关不批准逮捕的，但犯罪嫌疑人已经被拘留的，公安机关进行侦查的期限是没有规定的。

2、检察机关不批准逮捕的，已经向人民法院提起公诉的，而人民法院认为需要侦查的，可以补充侦查，补充侦查期限为一个月，次数为二次。

3、公安机关逮捕的，羁押侦查的期限为二个月，案情复杂的，可以延长一个月。

一、羁押期限

1、一般期限

《刑事诉讼法》第156条规定：对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过两个月。如果犯罪嫌疑人在逮捕以前已被拘留的，拘留的期限不包括在侦查羁押期限之内。一般情况下，侦查机关应当在法律规定的侦查羁押期限内侦查终结案件。

2、特殊期限

特殊羁押期限，意指侦查羁押期限的延长，但必须符合法定条件并履行相应的审批手续和程序。主要情况有：

1、根据《刑事诉讼法》第156条的规定，案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长1个月。

2、根据《刑事诉讼法》第157条的规定，因为特殊原因，在较长时间内不宜交付审判的特别重大复杂的案件，由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批推延期审理。

3、根据《刑事诉讼法》第157条的规定，下列案件在《刑事诉讼法》第154条的规定的期限届满仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以延长2个月：

(1)交通十分不便的边远地区的重大复杂案件；

(2)重大的犯罪集团案件；

(3)流窜作案的重大复杂案件；

(4)犯罪涉及面广，取证困难的重大复杂案件。

4、根据《刑事诉讼法》第157条的规定，对犯罪嫌疑人可能判处10年有期徒刑以上刑罚，依照本法第156条规定延长期限届满，仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以再延长2个月。

根据六机关《规定》第30条、第31条的规定，公安机关对案件提请延长羁押期限时，应当在羁押期限届满7日前提出，并书面呈报延长羁押期限案件的主要案情和延长羁押期限的具体理由，人民检察院应当在羁押期限届满前作出决定。最高人民检察院直接立案侦查的案件，符合《刑事诉讼法》第156条、157条和158条规定的条件，需要延长犯罪嫌疑人侦查羁押期限的，由最高人民检察院依法决定。

在出现了任何的违法行为后，公安机关都会对违法行为进行立案调查，同时也会搜集案件相关的证据和材料，如果认为证据充分时，也是可以向检察院提出逮捕犯罪嫌疑人的申请，那么检察院也是可以根据提交的证据材料来确定是否对犯罪嫌疑人提出诉讼请求的。