一、申请笔迹鉴定是谁的责任?

应该是原告承担笔迹鉴定的责任。从法律理论上进行分析，该欠条只有与笔迹鉴定相互印证，才能证明原告主张的案件事实存在。此外，原告认为欠条是被告出具的，而被告则认为该欠条不是被告出具的，我们对照待证事实分类说对当事人之间的这一争执进行分析，本案原告积极主张被告欠款事实的成立，该主张的事实属积极意义上的案件事实，被告则积极主张欠款事实不成立，该主张的事实属消极意义上的案件事实。因此，原告应积极履行诉讼行为，提出鉴定申请。

二、从举证责任谈应由谁申请鉴定

举证责任又称证明责任，它是指当事人对自己提出的主张有提供证据进行证明的责任。在相当长的历史时期内，大陆法系与英美法系都是从提供证据责任的角度来理解和把握举证责任概念的。随着两大法系学者就行为意义上的举证责任深入研究，最终将举证责任的“双重含义说”奉为横跨两大法系证明责任领域内的通说。在我国民事审判实践中也适时地引入了现代证明责任理论，举证责任具体包含行为意义上的举证责任和结果意义上的举证责任两层含义：行为意义上的举证责任是指当事人对自己提出的主张有提供证据的责任;结果意义上的举证责任是指当待证事实真伪不明时由依法负有证明责任的人承担不利后果的责任。从行为和结果双重含义上来界定举证责任的内涵，在举证责任分配上更合理、更科学，对于提高民事审判效率、推进民事审判方式改革具有十分重要意义。

行为意义上的举证责任又叫主观上的证明责任、形式上的举证责任，主要特点有：1、行为意义上的举证责任在外在形式上受当事人主张责任所牵引，因此它是诉讼过程中无条件出现的一种举证责任;2、行为意义上的举证责任随一方当事人举证程度的变化而可以数次反复，因此它是一种动态的举证责任;3、行为意义上的举证责任因一方当事人提供证据证明力的强弱而在当事人之间移位，因此它是一种可以在当事人之间互相转移的举证责任。结果意义上的举证责任又叫客观上的证明责任、实质上的举证责任，主要特点有：1、结果意义上的举证责任不受当事人主张责任所牵引，它是由法律预选设定的，是一种不能转移的举证责任;2、是一种隐形存在的举证责任，只有当案件中的待证事实真伪不明时，结果意义上的举证责任才显现出来;3、结果意义上的举证责任是一种附条件的证明责任，只有当待证事实真伪不明时才能要求负有举证责任的一方当事人承担不利的后果。因此，“谁主张，谁举证”是对行为意义上举证责任最典型的概括。

在公民与他人发生纠纷后，也是可以通过诉讼的方式来解决的，在提出诉讼时也是要向法院提交起诉状以及诉讼的案件，如果证据中有涉及笔迹等专业方面的情况后，也是可以通过司法鉴定机构进行鉴定，一般情况下司法鉴定的举证以及申请方是会有诉讼的原告进行的。