犯罪嫌疑人死不认罪的，应该由司法机关来举证证明其已经构成犯罪。

根据《刑事诉讼法》的规定，公诉案件中被告人有罪的举证责任由人民检察院承担，同时根据重证据不轻信口供的原则，没有被告人供述，证据确实、充分的，可以认定被告人有罪和处以刑罚。

《刑事诉讼法》

第四十九条公诉案件中被告人有罪的举证责任由人民检察院承担，自诉案件中被告人有罪的举证责任由自诉人承担。

第五十条审判人员、检察人员、侦查人员必须依照法定程序，收集能够证实犯罪嫌疑人、被告人有罪或者无罪、犯罪情节轻重的各种证据。严禁刑讯逼供和以威胁、引诱、欺骗以及其他非法方法收集证据，不得强迫任何人证实自己有罪。必须保证一切与案件有关或者了解案情的公民，有客观地充分地提供证据的条件，除特殊情况外，可以吸收他们协助调查。

第五十三条对一切案件的判处都要重证据，重调查研究，不轻信口供。只有被告人供述，没有其他证据的，不能认定被告人有罪和处以刑罚；没有被告人供述，证据确实、充分的，可以认定被告人有罪和处以刑罚。

证据确实、充分，应当符合以下条件：

(一)定罪量刑的事实都有证据证明；

(二)据以定案的证据均经法定程序查证属实；

(三)综合全案证据，对所认定事实已排除合理怀疑。

一、犯罪嫌疑人不认罪主要表现在以下几个方面：

1、被告人从被抓获之日起就拒不认罪，此类现象在毒品案件中尤甚。审判实践中，毒品案件一对一的特殊性致使定罪量刑主要依靠毒品买卖上下家的一致口供，缺少相应的实物证据。被告人心存侥幸，不愿如实供述，试图逃脱刑罚的制裁。

2、被告人被抓获之后如实认罪，但随着时间的推移，又改变口供，不愿承认犯罪事实。有些被告人在被抓获之初，迫于司法机关的强大压力，承认了犯罪事实，但其内心深处不愿接受制裁，抵抗改造。在最初的慌乱之后，重新构筑了心理防线，抗拒法律。

3、在共同犯罪中，各被告人之间对作案分工合作的细节相互推诿，都不愿承担主要责任。此种现象在抢劫、抢夺案件的庭审中频繁出现。实施抢劫、抢夺案件的被告人文化程度相对较低，且多是同乡、朋友关系结伙作案。在事发后，各个被告人为了减轻自身的罪责，都试图将责任推给他人，以减轻自己的刑事责任。

4、公安机关在证据上存在较多瑕疵，致使被告人在公安和检察阶段都自愿认罪，但到了法庭上，经辩护律师指点，即反悔拒不认罪，主要表现在强奸案件上。由于被害人的多次陈述，均与被告人的供述不尽相同，致使被告人在法庭上认为不是强奸而是通奸。