一、甲将牛卖给了乙但未交付，此时产下的小牛归谁？

1、产下的小牛归甲所有。根据我国《民法典》的规定，货物交付是合同成立的重要条件之一。即在合同约定的地点、时间，卖方将货物交付给买方，买方接收货物的行为，才算完成交付。因此，在此情况下，甲将牛卖给了乙但未交付，产下的小牛归甲所有。

2、具体来说，未交付的货物属于卖方所有。即使牛已经怀孕并生下了小牛，这些小牛也属于卖方的所有物，因为买方并没有完成接收货物的行为。买卖双方如果没有另有约定，那么产生的小牛也应属于卖方的所有物。如果买方要求收养这些小牛，需要与卖方另行达成协议并支付相应的费用。

3、需要注意的是，卖方应当对怀孕的母牛和产下的小牛依法加以保护，防止它们遭到不必要的伤害或死亡，这也是卖方的合同义务之一。如果卖方因为过失或故意的行为导致母牛或小牛受到损失或死亡，买方有权要求卖方承担相应的赔偿责任。

4、综上所述，根据我国民法典的规定，未交付的货物仍然属于卖方所有，因此在这种情况下，产下的小牛归甲所有。

《中华人民共和国民法典》第六百三十条

标的物在交付之前产生的孳息，归出卖人所有；交付之后产生的孳息，归买受人所有。但是，当事人另有约定的除外。

二、合同纠纷找哪个部门解决最快？

合同纠纷的解决通常需要诉讼程序，所以要解决合同纠纷最快的部门通常是当地的法院系统。

在不同国家和地区，法院系统可能会有所不同，但是通常在每个地区都会有至少一个主要的地方法院和一些较小的分支法院。如果您的合同纠纷涉及的金额不是很大，您可以尝试联系当地的小额法院或民事法院。

如果您不确定该联系哪个法院，请咨询当地的律师或法律援助中心，他们可以帮助您确定应该联系哪个法院。

三、合同成立的条件三要素？

（1）签订合同的双方当事人具有相应的民事行为能力；

（2）双方当事人的意思表示真实，不存在欺诈、胁迫、乘人之危、显失公平、重大误解的情形；

（3）合同的内容和形式不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。

《中华人民共和国民法典》第一百四十三条

具备下列条件的民事法律行为有效：

（一）行为人具有相应的民事行为能力；

（二）意思表示真实；

（三）不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。

《中华人民共和国民法典》：第六章　民事法律行为 第三节　民事法律行为的效力　　第一百四十三条　具备下列条件的民事法律行为有效：\n　　（一）行为人具有相应的民事行为能力；\n（二）意思表示真实；\n　　（三）不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。