一、人民检察院在审查起诉中决定自行侦查的，应在什么期限内侦查完毕

人民检察院直接立案侦查的案件，对犯罪嫌疑人没有采取取保候审、监视居住、拘留或者逮捕措施的，侦查部门应当在立案后二年以内提出移送审查起诉、移送审查不起诉或者撤销案件的意见；

对犯罪嫌疑人采取取保候审、监视居住、拘留或者逮捕措施的，侦查部门应当在解除或者撤销强制措施后一年以内提出移送审查起诉、移送审查不起诉或者撤销案件的意见。

《刑事诉讼法》第二百五十三条

人民检察院直接受理侦查的案件，对犯罪嫌疑人没有采取取保候审、监视居住、拘留或者逮捕措施的；

负责侦查的部门应当在立案后二年以内提出移送起诉、移送不起诉或者撤销案件的意见；

对犯罪嫌疑人采取取保候审、监视居住、拘留或者逮捕措施的，负责侦查的部门应当在解除或者撤销强制措施后一年以内提出移送起诉、移送不起诉或者撤销案件的意见。

二、人民检察院决定不起诉的案件，可对被不起诉人予以什么处罚

人民检察院决定不起诉的案件，可以根据案件的不同情况，对被不起诉人予以训诫或者责令具结悔过、赔礼道歉、赔偿损失。

对被不起诉人需要给予行政处罚、行政处分或者需要没收其违法所得的，人民检察院应当提出检察意见，连同不起诉决定书一并移送有关主管机关处理。

《人民检察院刑事诉讼规则》第二百九十一条

人民检察院决定不起诉的案件，可以根据案件的不同情况，对被不起诉人予以训诫或者责令具结悔过、赔礼道歉、赔偿损失。

对被不起诉人需要给予行政处罚、行政处分或者需要没收其违法所得的，人民检察院应当提出检察意见，连同不起诉决定书一并移送有关主管机关处理。

三、人民检察院在复查过程中，发生什么情况的，应终止复查

人民检察院在复查不起诉案件的过程中，接到人民法院受理被害人对被不起诉人起诉的通知后，应终止复查。

复查终结的刑事申诉案件，应当是案件事实、证据、适用法律和诉讼程序以及其他可能影响案件处理的情形已经审查清楚，能够得出明确的复查结论。

《人民检察院复查刑事申诉案件规定》第三十三条

复查终结的刑事申诉案件，应当是案件事实、证据、适用法律和诉讼程序以及其他可能影响案件处理的情形已经审查清楚，能够得出明确的复查结论。

《中华人民共和国刑事诉讼法》（2018修正）：第五章　审判监督程序　　第二百五十三条　当事人及其法定代理人、近亲属的申诉符合下列情形之一的，人民法院应当重新审判：\n（一）有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，可能影响定罪量刑的；\n（二）据以定罪量刑的证据不确实、不充分、依法应当予以排除，或者证明案件事实的主要证据之间存在矛盾的；\n（三）原判决、裁定适用法律确有错误的；\n（四）违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的；\n（五）审判人员在审理该案件的时候，有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。