1、逮捕后37天移送审查起诉是合法的，《刑事诉讼法》规定，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。交通十分不便边远地区的重大复杂案件，重大犯罪集团案件，流窜作案的重大复杂案件，犯罪涉及面广，取证困难的重大复杂案件，在上述3个月不能办结的，可延长2个月，对可能判处十年以上有期徒刑，仍不能侦结的，可再延长二个月

2、公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。

移送审查起诉时间由谁来决定

我国刑事诉讼法明确规定了人民检察院的审查起诉期限，具体如下：

刑事诉讼法第138条规定：人民检察院对于公安机关移送起诉的案件，应当在1个月以内作出决定，重大、复杂的案件，可以延长半个月。人民检察院审查起诉的案件，改变管辖的，从改变后的人民检察院收到案件之日起计算审查起诉期限。

该条对审查起诉的期限以及改变管辖后审查起诉期限的计算，都作出了明确的规定。这一规定是长期审查起诉经验的总结，是符合准确、及时办案要求的。

根据刑事诉讼法第140条第3款的规定：对补充侦查的案件，补充侦查完毕移送人民检察院后，人民检察院也要重新计算审查起诉期限。

以上规定的审查起诉的期限是针对犯罪嫌疑人被羁押的案件来说的，实践中对犯罪嫌疑人未被羁押的案件，人民检察院不受1个月至1个半月期限的限制，既可以在1个月至1个半月内完成，也可以超过这个期限，但是，必须贯彻迅速、及时原则，不得中断对案件的审查。此外，如果在审查起诉过程中犯罪嫌疑人在逃的，人民检察院应当中止审查，并按照刑事诉讼法的有关规定作出通缉的决定并通知公安机关执行。共同犯罪中的部分犯罪嫌疑人在逃的，对在逃犯罪嫌疑人应当中止审查，对其他犯罪嫌疑人的审查起诉应当照常进行。中止审查应当由审查起诉部门负责人提出意见报请检察长决定。中止审查的时间不计入审查起诉的期限。

人民检察院经过审查，应当根据案件的不同情况，依法作出提起公诉或不起诉的决定。

《刑事诉讼法》第一百五十六条

对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。

第一百五十七条

因为特殊原因，在较长时间内不宜交付审判的特别重大复杂的案件，由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批准延期审理。