两个机关都可以负责立案侦查，要看你究竟是什么案件。两者的区别：公安机关负责案件的侦查，检察机关负责提起公诉和对公安机关侦查的监督，也负责一部分案件的侦查(自侦案件)，主要就是和当官的有关。人民检察院自行侦查的案件有：

(一)贪污贿赂犯罪案件：

1、贪污案;

2、挪用公款案;

3、受贿案;

4、单位受贿案;

5、行贿案;

6、对单位行贿案;

7、介绍贿赂案;

8、单位行贿案;

9、巨额财产来源不明案;

10、隐瞒境外存款案;

11、私分国有资产案;

12、私分罚没财物案。

(二)渎职犯罪案件：

1、滥用职权案;

2、玩忽职守案;

3、国家机关工作人员徇私舞弊案;

4、故意泄露国家秘密案;

5、过失泄露国家秘密案;

6、在法追诉、裁判案;

7、民事、行政在法裁判案;

8、私放在押人员案;

9、失职致使在押人员脱逃案;

10、徇私舞弊减刑、假释、暂予监外执行案;

11、徇私舞弊不移交刑事案件案;

12、滥用管理公司、证券职权案;

13、徇私舞弊不征、少征税款案;

14、徇私舞弊发售发票、抵扣税款、出口退税案;

15、违法提供出口退税凭证案;

16、国家机关工作人员签订、履行合同失职被骗案;

17、违法发放林木采伐许可证案;

18、环境监管失职案;

19、传染病防治失职案;

20、非法批准征用、占用土地案;

21、非法低价出让国有土地使用权案;

22、放纵走私案;

23、商检徇私舞弊案;

24、商检失职案;

25、动植物检疫徇私舞弊案;

26、动植物检疫失职案;

27、放纵制售伪劣商品犯罪行为案;

28、办理偷越国(边)境人员出入境证件案;

29、放行偷越国(边)境人员案;

30、不解救被拐卖、绑架妇女、儿童案;

31、阻碍解救被拐卖、绑架妇女、儿童案;

32、帮助犯罪分子逃避处罚案;

33、招收公务员、学生徇私舞弊案;

34、失职造成珍贵文物损毁、流失案。

(三)国家机关工作人员利用职权实施的下列犯罪案件：

1、非法拘禁案;

2、非法搜查案;

3、刑讯逼供案;

4、暴力取证案;

5、虐待被监管人案;

6、报复陷害案;

7、破坏选举案。

(四)国家机关工作人员利用职权实施的其他重大的犯罪案件，需要由人民检察院直接受理的时候，经省级以上人民捡察院决定，可以由人民检索院立案侦查。除此之外的案件由公安机关负责侦查。综合上面所说的，立案侦查就是对案件进行审查，但对于侦查的案件一般情况会由公安部门来进行办理，但如果遇到一些罪行与国家人员相关的，那么就会直接由检察院来进行处理，所以，我国对于不同的案件所处理的部门就会不一样。