根据《司法鉴定程序通则(试行)》规定，沈阳市申请司法鉴定应遵循以下程序：

一、委托

1、司法鉴定机构接受司法机关、仲裁机构的司法鉴定委托。

2、在诉讼案件中，在当事人负有举证责任的情况下，司法鉴定机构也可以接受当事人的司法鉴定委托。当事人委托司法鉴定时一般通过律师事务所进行。

二、受理

司法鉴定机构收到委托书后，应对委托人的委托事项进行审核，并作出如下决定：

1、对于符合受理条件的，能够即时决定受理的，司法鉴定机构应当与委托人签订《司法鉴定委托受理合同》;

2、不能即时决定受理的，应当向委托人出具《司法鉴定委托材料收领单》，在收领委托材料之日起7日内对是否受理作出决定;

3、对于不符合受理条件的，决定不予受理的，应当退回鉴定材料并向委托人说明明理由;

4、对于函件委托的，司法鉴定机构应当在收到函件之日起7日内作出是否受理的书面答复。

三、初次鉴定

鉴定机构受理案件后，应当指派具有社会专业司法鉴定资格的人员承担鉴定工作，同一鉴定事项应当由两名具有社会专业司法鉴定资格的人员进行。

四、补充鉴定

司法鉴定机构接受委托进行补充鉴定，应当对委托人请求的事项进行审查，不属《司法鉴定程序通则》第三十条规定的情形，社会专业司法鉴定机构应当向委托人说明情况，并退回委托书。

补充鉴定符合《司法鉴定程序通则》第三十一条规定的情形，社会专业司法鉴定机构可以指定原鉴定人进行，也可以指派其他社会专业司法鉴定人进行，补充鉴定文书是原鉴定文书的组成部分。有下列情形之一的，司法鉴定机构可以接受委托，进行补充鉴定：

(1)发现新的相关鉴定材料;

(2)原鉴定项目有遗漏。

五、重新鉴定

对重新鉴定，专业司法鉴定机构应当要求委托人提供与原鉴定材料相同的材料。重新鉴定仍在原社会专业司法鉴定机构进行的，不能由原鉴定人承办重新鉴定的事项。有下列情形之一的，司法鉴定机构可以接受委托，进行重新鉴定：

(1)司法鉴定机构、司法鉴定人超越司法鉴定业务范围或者执业类别进行鉴定的;

(2)送鉴的材料虚假或者失实的;

(3)原鉴定使用的标准、方法或者仪器设备不当，导致原鉴定结论不科学、不准确的;

(4)原鉴定结论与其他证据有矛盾的;

(5)原司法鉴定人应当回避而没有回避的;

(6)原司法鉴定人因过错出具错误鉴定结论的;

六、复核鉴定

对鉴定结论有异议需进行复核鉴定的，其他资质较高的司法鉴定机构可以接受委托，进行复核鉴定。复核鉴定除需提交鉴定材料外，还应提交原司法鉴定文书。

七、司法鉴定文书的出具

司法鉴定人完成社会专业司法鉴定工作后，应当出具司法鉴定文书。社会专业司法鉴定文书的制作应当符合《司法鉴定程序通则》第三十九条，第四十条，第四十一条，第四十二条规定的要求。司法鉴定文书正本一式三份，其中一份交委托人，两份由司法鉴定机构存档。

八、出庭

司法鉴定人应当按照司法机关或者仲裁机关的要求按时出庭。司法鉴定人出庭时，应当出示《司法鉴定人执业证书》，依法实事求是的对鉴定结论的依据进行说明，回答与鉴定相关的问题。

每个程序都需要严谨进行，确保不出现纰漏导致鉴定出现错误。而如果对鉴定结果有疑问还可以申请再次鉴定，保证自身的权益不收到侵犯。