一、派出所可以申请不逮捕吗

公安机关并不能直接做出不批捕的决定，而仅仅是负责执行相应的决定而已。在刑事司法程序中，对犯罪嫌疑人实施逮捕行为必须经过人民检察院的批准，或者由人民法院作出判决后再交由公安机关去抓人、关押。当公安机关需要提出逮捕的请求时，必须先向人民检察院汇报，等待他们经过严格的审查后，如果认为应当逮捕，会依法签发批准逮捕文书，同时公安机关也有责任马上将已经拘留的犯罪嫌疑人士释放。

《刑事诉讼法》第八十条

逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必须经过人民检察院批准或者人民法院决定，由公安机关执行。

第八十七条

公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。

二、派出所可以直接判诽谤罪吗

派出所作为公安机关的专属分支机构，其职责并不包括对诽谤犯罪行为进行宣判。若行为人被指控犯有诽谤罪，则将由法院负责组织相关庭审程序，根据证据和法律条文作出决断或裁决。当诽谤行为严重侵犯到社会公共秩序以及国家既定利益时，当地公安机关有权根据刑事案件管辖权进行立案侦查。

然而，对于其他类型的诽谤案件，通常情况下是由受害者本人自行向法院提出刑事自诉请求。

《中华人民共和国刑法》第二百四十六条

以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。

通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。

在刑事诉讼程序中，公安机关并没有权利擅自决定不批准逮捕，而是仅仅负责执行已经做出的决定。当需要对犯人进行逮捕时，必须经过检察机关的审核批准或者由法院作出判决之后，才会有公安部门实施具体的逮捕行动。若公安机关有这方面的需求，必须首先向检察机关进行详细的报告和申请，然后经过严格的审理和审议，如果确定应当实施逮捕，那么检察机关将正式签署逮捕命令，此时公安部门便可以将在押犯罪嫌疑人员予以放释。