公证和遗嘱同时存在谁继承，法律中没有作出规定，但遗产是由被继承人生前订立的，而继承是从被继承人死亡时开始的。所以遗嘱和继承不可以同时公证。

《中华人民共和国民法典》

第一千一百二十一条【继承开始的时间及死亡先后的推定】继承从被继承人死亡时开始。

相互有继承关系的数人在同一事件中死亡，难以确定死亡时间的，推定没有其他继承人的人先死亡。都有其他继承人，辈份不同的，推定长辈先死亡；辈份相同的，推定同时死亡，相互不发生继承。

第一千一百二十三条【法定继承、遗嘱继承、遗赠和遗赠扶养协议的效力】继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。

第一千一百三十三条【遗嘱处分个人财产】自然人可以依照本法规定立遗嘱处分个人财产，并可以指定遗嘱执行人。

自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承。

自然人可以立遗嘱将个人财产赠与国家、集体或者法定继承人以外的组织、个人。

自然人可以依法设立遗嘱信托。

《中华人民共和国公证法》

第十一条根据自然人、法人或者其他组织的申请，公证机构办理下列公证事项：

(一)合同；

(二)继承；

(三)委托、声明、赠与、遗嘱；

(四)财产分割；

(五)招标投标、拍卖；

(六)婚姻状况、亲属关系、收养关系；

(七)出生、生存、死亡、身份、经历、学历、学位、职务、职称、有无违法犯罪记录；

(八)公司章程；

(九)保全证据；

(十)文书上的签名、印鉴、日期，文书的副本、影印本与原本相符；

(十一)自然人、法人或者其他组织自愿申请办理的其他公证事项。

法律、行政法规规定应当公证的事项，有关自然人、法人或者其他组织应当向公证机构申请办理公证。

一、遗嘱生效后如何执行

遗嘱人一旦死亡，他所设立的遗嘱即具有执行效力，由继承人按照遗嘱的内容继承遗产。遗嘱人可以在遗嘱中嘱托继承人中的一人或数人执行遗嘱；如果没有此项嘱托，则全体继承人以平等地位参与遗嘱的执行。为了保障未成年的继承人和不在继承开始地点的继承人的利益，遗嘱人可以嘱托继承人以外的其他个人或者组织充当遗嘱执行人，负责执行遗嘱。遗嘱执行人通常是遗嘱人所信赖的、能体现遗嘱人意愿的无利害关系人，他在执行嘱托任务时，继承人无权对遗产进行处分。

遗嘱自遗嘱人死亡之日起开始执行，其过程大致如下：

(1)出示遗嘱，向有关人员公布遗嘱内容；

(2)编制遗产清册，并予宣布；

(3)继承人或其他人对遗嘱没有争议时，把遗产按遗嘱的要求进行处理。