一、刑事拘留多久公安机关立案

根据中国法律规定，在当事人被刑事拘留之后，公安机关有义务在拘留期结束前的三个工作日内提出请求，请求人民检察院对其进行批捕。

然而，如果遇到某些特殊情况，例如犯罪嫌疑人故意逃离案件发生地或者多次实施犯罪行为，亦或是纠集他人共同作案等情况，公安机关可以申请将批捕期限延长至四个工作日。而对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关则有权将批捕期限延长至三十个工作日。在此期间，人民检察院必须在七个工作日内做出是否批准逮捕的决定。需要注意的是，这一过程并不属于立案环节，立案通常会在侦查工作的早期阶段就已经完成了。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：

公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。

对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。

人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。

二、刑事拘留多久后可以取保候审

在被刑事拘留之后，倘若符合了取保候审的相关规定标准，则犯罪嫌犯以及被告人有权立即向司法部门提出申请进行取保候审。而接收到申请的人民法院、人民检察院与公安机关将会在收到申请之日起三个工作日内就做出回应并予以决定。若对强制措施加以变更的请求未予批准时，应将此事项通知至申请人，同时也是应当详细说明不予批准的具体原因或依据。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条

取保候审的条件与执行人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：

（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；

（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；

（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；

（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

取保候审由公安机关执行。

法律是一种强大的工具，它可以保护弱者，制约强者，维护社会的公正和公平。但是，法律的力量并不仅仅在于它的规定和惩罚，更在于我们每个人的理解和遵守。正如本文的标题所提出的问题，“刑事拘留多久公安机关立案”，我们每个人都有责任和义务去学习和理解法律，去遵守法律，去维护法律的尊严和权威。只有这样，我们才能真正实现法治社会的理想，才能真正实现公正和公平。