可以要求赔偿，因为这种情况是可以要求离职前体检的。当事人应该要求单位出面做工伤认定，如果单位不予理睬，可以自己去劳动局申诉和做工伤认定。如果经过认定工伤，即使没有签劳动合同，单位也要负责。没有劳动合同，除了非全日制用工，否则单位属于违法。而如果没有为当事人依法缴纳工伤保险费，如果经过鉴定当事人属于工伤的，由用人单位支付工伤保险待遇。根据《中华人民共和国劳动合同法》规定第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。第六十九条非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。从事非全日制用工的劳动者可以与一个或者一个以上用人单位订立劳动合同；但是，后订立的劳动合同不得影响先订立的劳动合同的履行。第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。根据《中华人民共和国社会保险法》规定第三十三条职工应当参加工伤保险，由用人单位缴纳工伤保险费，职工不缴纳工伤保险费。第三十六条职工因工作原因受到事故伤害或者患职业病，且经工伤认定的，享受工伤保险待遇；其中，经劳动能力鉴定丧失劳动能力的，享受伤残待遇。第三十九条因工伤发生的下列费用，按照国家规定由用人单位支付：

（一）治疗工伤期间的工资福利；

（二）五级、六级伤残职工按月领取的伤残津贴；

（三）终止或者解除劳动合同时，应当享受的一次性伤残就业补助金。第四十一条职工所在用人单位未依法缴纳工伤保险费，发生工伤事故的，由用人单位支付工伤保险待遇。用人单位不支付的，从工伤保险基金中先行支付。从工伤保险基金中先行支付的工伤保险待遇应当由用人单位偿还。用人单位不偿还的，社会保险经办机构可以依照本法第六十三条的规定追偿。