申请刑事抗诉的答复方式是:由上级检察机关通过书面形式通知下级检察机关，上级检察院认为抗诉正确的,应当支持抗诉;认为抗诉不当的,应当向同级人民法院撤回抗诉,并且通知下级检察院。下级检察院认为上级检察院撤回抗诉不当的可以提请复议。

一、《人民检察院诉讼规则》

第三百九十六条人民检察院依法对人民法院的判决、裁定是否正确实行监督，对人民法院确有错误的判决、裁定，应当依法提出抗诉。

第三百九十七条人民检察院认为同级人民法院第一审判决、裁定有下列情形之一的，应当提出抗诉：

(一)认定事实不清、证据不足的；

(二)有确实、充分证据证明有罪而判无罪，或者无罪判有罪的；

(三)重罪轻判，轻罪重判，适用刑罚明显不当的；

(四)认定罪名不正确，一罪判数罪、数罪判一罪，影响量刑或者造成严重的社会影响的；

(五)免除刑事处罚或者适用缓刑错误的；

(六)人民法院在审理过程中严重违反法律规定的诉讼程序的。

第三百九十九条人民检察院在收到人民法院第一审判决书或者裁定书后，应当及时审查，承办人员应当填写刑事判决、裁定审查表，提出处理意见，报审查起诉部门负责人审核。对需要提出抗诉的案件，审查起诉部门应当报请检察长决定；案情疑难或者重大复杂的案件，由检察长提交检察委员会讨论决定。

第四百条人民检察院对同级人民法院第一审判决的抗诉，应当在接到判决书的第二日起十日内提出；对裁定的抗诉，应当在接到裁定书后的第二日起五日内提出。

第四百零一条人民检察院对同级人民法院第一审判决、裁定的抗诉，应当制作抗诉书通过原审人民法院向上一级人民法院提出，并将抗诉书副本连同案件材料报送上一级人民检察院。

第四百零二条被害人及其法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决的，在收到判决书后五日以内请求人民检察院提出抗诉的，人民检察院应当立即进行审查，在收到被害人及其法定代理人的请求后五日内作出是否抗诉的决定，并且答复请求人。经审查认为应当抗诉的，适用本规则第三百九十七条至第四百零一条的规定办理。

被害人及其法定代理人在收到判决书五日以后请求人民检察院提出抗诉的，由人民检察院决定是否受理。

第四百零三条上一级人民检察院对下级人民检察院按照第二审程序提出抗诉的案件，认为抗诉正确的，应当支持抗诉；认为抗诉不当的，应当向同级人民法院撤回抗诉，并且通知下级人民检察院。下级人民检察院如果认为上一级人民检察院撤回抗诉不当的，可以提请复议。上一级人民检察院应当复议，并将复议结果通知下级人民检察院。

上一级人民检察院在上诉、抗诉期限内，发现下级人民检察院应当提出抗诉而没有提出抗诉的案件，可以指令下级人民检察院依法提出抗诉。