1.判处死刑立即执行的案件应当由最高人民法院核准，有些案件的核准权依法经最高人民法院授权也可以由省、自治区、直辖市高级人民法院行使。

由最高人民法院核准死刑的案件：

(1)中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉，人民检察院也不抗诉的。对这种情况中级人民法院应当在上诉、抗诉期满后3日以内报请高级人民法院进行复核。高级人民法院同意判处死刑的，应当作出同意判处死刑的裁定，然后再报请最高人民法院核准;高级人民法院不同意判处死刑的，应当直接进行提审或者发回原审人民法院重新审判。高级人民法院提审后改判的案件是最终的判决，不能上诉或者抗诉;提审后仍然判处死刑的，必须报请最高人民法院核准。高级人民法院发回原审人民法院重新审判的，原审人民法院应当按照一审程序审理，所作出的判决仍然为一审判决，可以上诉或者抗诉，如果原审人民法院重新审判后仍然判处死刑，还必须报请最高人民法院核准。

(2)中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人提出上诉，或者人民检察院提出抗诉的，中级人民法院应当将案件移交高级人民法院进行审理，高级人民法院如果同意判处死刑的，必须报请最高人民法院核准。

(3)高级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉，人民检察院也不抗诉的，高级人民法院应当在上诉、抗诉期满后3日以内报请最高人民法院核准。

(4)高级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人提出上诉，或者人民检察院提出抗诉的，高级人民法院应当将案件移交最高人民法院进行审理。

由最高人民法院授权高级人民法院核准死刑的案件：

对杀人、强奸、抢劫、爆炸以及其他严重危害公共安全和社会治安犯罪判处死刑的案件，最高人民法院可以依法授权由省、自治区、直辖市高级人民法院行使核准权。需要报请高级人民法院核准死刑的案件，按照下列情形分别处理：

(1)中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉，人民检察院也不抗诉的，中级人民法院应当在上诉、抗诉期满后3日以内报请高级人民法院核准。

(2)中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人提出上诉或者人民检察院提起抗诉的，中级人民法院应当将案件移交高级人民法院进行审理，高级人民法院如果同意判处死刑的，应当作出维持死刑判决的裁定，同时也是核准死刑判决的裁定。

对于报请最高人民法院或者高级人民法院核准死刑的案件，最高人民法院或者高级人民法院应当对案件全面进行审查，并根据案件情形分别作出如下判决、裁定：

(1)原审判决认定事实和适用法律正确、量刑适当的，裁定核准死刑，并由最高人民法院院长或者高级人民法院院长签发执行死刑命令，同时由原审人民法院发布执行死刑的布告;

(2)原审判决认定的事实正确，但适用法律有错误，或者量刑不当，不同意判处死刑的，应当改判;

(3)原审判决认定事实错误或者证据不足的，裁定撤销原判，发回原审人民法院重新审判;

(4)发现第一审人民法院或者第二审人民法院违反法律规定的诉讼程序，可能影响正确判决的，应当裁定撤销原判，发回第一审人民法院或者第二审人民法院重新审判。

2.判处死刑缓期二年执行的案件由高级人民法院核准。

中级人民法院对于报请高级人民法院核准死刑缓期二年执行的案件，应当报送的材料包括报请核准的报告、死刑缓期二年执行案件综合报告、判决书以及全部诉讼案卷和证据，如果是共同犯罪的案件，对其中一名或几名被告人判处死刑缓期二年执行的，也应当将全部案件的证据材料报送高级人民法院。中级人民法院报送死刑缓期二年执行的核准案件必须做到犯罪事实清楚，证据确实、充分，适用法律正确，诉讼文书齐备，并且一案一报。高级人民法院收到报请核准死刑缓期二年执行的案件，需要全面对案件进行审查，经审查应当作出核准或者不核准的决定，不能加重被告人的刑罚，并按照下列情形分别处理：

(1)同意判处死刑缓期二年执行的，应当作出裁定予以核准;

(2)认为原判事实不清、证据不足的，应当裁定发回原审人民法院重新审判;

(3)认为原判量刑过重的，应当进行改判。